凸関数

目的

凸関数の例。
線分を引くと必ず関数より上を通る。

凸関数について述べる。

 

定義:凸関数

関数 \(f\) が凸関数であるとは、以下を満たすとき。

  1. \(f\) 内の定義域が凸集合。
  2. \(f\) の定義域の任意の2点 \(x_1 , x_2\) と任意の \(\theta \in [0,1]\)について以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}f(\theta x_1 + (1-\theta) x_2) \leq \theta f(x_1) +(1-\theta) f(x_2)\end{eqnarray}

※凸集合についてはこちらをご覧ください。

 

ざっくり

凸でない関数の一例。
関数が線分より上を通っている。

関数のどの2点を線分で結んだとしても、

関数線分の下を通るなら凸関数。

 

例:凸でない関数

凸でない関数もたくさんある。

線分より上を通る関数は凸関数ではない。

 

参考文献

[1] S.Boyd and L. Vandenberghe, “Convex Optimization,” Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

[2] 寒野, 土屋著 “東京大学工学教程 基礎系数学 最適化と変分法,” 丸善出版, 2014.

北海道大学大学院情報科学研究科修士課程修了。
機械メーカにて開発業務に従事したのち、フリーのエンジニア・講師として活動中。

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