線形システムの可制御性

目的

線形システムの可制御性について述べる。

ざっくり言うと

「入力 \(u(t)\) によって、システムの状態 \(x(t)\) を自在に制御可能か」状態空間表現から調べる。

状態空間表現についてはこちらをご覧ください。

 

定義(線形システムの可制御性)

線形システム \(\dot{x}(t) = Ax(t)+Bu(t)\) が可制御であるとは、

任意の有限時間 \(0 \leq t \leq T\) で、任意の初期状態 \(x_0\) を任意の状態 \(x(T)\) に

移動させる制御入力 \( u(t) \) が存在すること。

 

可制御性を満たすシステムは可制御であるといい、

また \((A,B)\) は可制御対であるという。

可制御でないとき、システムは不可制御であるという。

 

条件

\(n \) 次元線形システム

\begin{eqnarray}\dot{x}(t) &=& Ax(t)+Bu(t)  \\ y(t)&=&Cx(t) + Du(t) \end{eqnarray}

が可制御であるためには以下を確認すればよい。

\begin{eqnarray}{\rm rank} \begin{pmatrix}B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{pmatrix}=n \end{eqnarray}

行列 \(U_C = (B \ \ AB \ \ \cdots \ \ A^{n-1}B )\) を可制御性行列という。

 

日本語でいうと:

線形システムが可制御である条件は

可制御性行列がフルランク

 

バネのシステムが可制御かどうか調べる。

\begin{eqnarray}&\frac{dx_1 (t)}{dt} &= x_2 (t) \\ &\frac{dx_2 (t)}{dt}&=-\frac{k}{m} x_1(t)- \frac{c}{m} x_2(t) + \frac{1}{m}u(t) \\ &y(t) &= x_1 (t)\end{eqnarray}

このシステムの \(A,B,C,D\) 行列は

\[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m}\end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{m}\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}, \ D=0 \]

である。

\[B=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{m}\end{pmatrix}, \ AB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{m}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{m} \\ -\frac{c}{m^2}\end{pmatrix}\]

より、バネのシステムの可制御性行列は

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}B & AB\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -\frac{1}{m} & -\frac{c}{m^2}\end{pmatrix}\end{eqnarray}である。可制御性行列がフルランク(\({\rm rank} (B \ \ AB )= 2\))であるため、

バネのシステムは可制御である。

 

「バネのシステムが可制御」だとわかったことで言えること:

制御装置でうまく制御すれば、

バネの変位 \(x_1(t)\), 速度 \(x_2(t)\) を自在に制御可能

バネ以外のシステムでも同様なことが言える。

 

参考文献

[1] 梶原 “線形システム制御入門,” コロナ社, 2000.

北海道大学大学院情報科学研究科修士課程修了。
機械メーカにて開発業務に従事したのち、フリーのエンジニア・講師として活動中。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です